Zeno, MÖ 490 - 430 yıllarında İtalya'nın Elea şehrinde yaşamış ünlü filozoftur. Metafizik ve varlık felsefesinin kurucusu sayılan Parmenides'in öğencisi olan Zeno yaşamı boyunca pek çok paradoks üretmiş ve bu çalışmaları ile adını duyurmuştur. Bu yazımda Zeno'nun en bilinen paradokslarından biri olan dikotomi (eski Yunanca ikiye ayırmak) paradoksunda kısa bir bilgi...
Farzedin ki belli uzaklıktaki bir yere gideceğiz. Hedefe varmak için önce yolun yarısına ulaşmış olmamız gerekir.
Yarı yola ulaştıktan sonra hedefe varmak için kalan yolun yarısına, daha sonra kalan yolun yarısına, sonra kalan yolun yarısına... ulaşmış olmamız gerekir. Bu süreç sonsuza kadar gitmekte ve bu mantıkla asla hedefe ulaşılamamaktadır. Zeno "O halde hareket imkansızdır, olsa olsa bir illüzyondur" sonucuna ulaşmıştır. İşte bu paradoksa dikotomi paradoksu adı verilir.
Dahası toplam zamanı bulmak için her aşamada geçen zamanları toplamamız gerekir. Fakat aşama sayısı sonsuz olduğundan toplam süre de sonsuz olmalıdır.
Zeno'nun doğru gözüken mantığına göre hedefe hiç bir zaman ulaşamayız. Fakat belli uzaklıktaki bir hedefe gitmek istediğimizde gidebiliyoruz. Böylece paradoks ortaya çıkmış oluyor. Zeno bu paradoksu çözmek için hareketin bir illüzyon olduğu sonucuna ulaşmıştır ki bunun doğru olmadığını biliyoruz. O halde Zeno'nun paradoksunda göz ardı edilen neydi?
O yıllarda sonsuz sayıda elemanın toplamı yine sonsuz olarak değerlendiriliyordu. Fakat matematikçiler sonraki yüzyıllarda sonsuz sayıda elemanın toplamının bir sayı olabileceğini buldu. Zeno paradoksu da böylece bir çözüme ulaştı. Çözümü daha iyi anlamak için bazı sayısal değerler verelim. Diyelim ki 1 kilometre uzaklıktaki bir yere gitmek istiyoruz. Hızımız da saatte 1 kilometre olsun. Bu verilere göre yolculuk 1 saat sürecektir. Zeno'nun bakış açısı ile işlemlerimizi yapalım. Önce yolun yarısı yani 1/2'sini, sonra kalanın yarısını yani yolun 1/4'ünü, sonra 1/8'ini... gitmemiz gerekiyor. Her aşamada toplam alınan yolu hesaplarsak bir bağıntı elde edebilir ve matematiksel işlemler yapabiliriz.
Toplam Alınan Yol (Kilometre)
1. Aşama Sonunda : 1/2
2. Aşama Sonunda : 1/2 + 1/4 = 3/4
3. Aşama Sonunda : 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
4. Aşama Sonunda : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
.
.
.
Bağıntı = (2n-1)/2n
Denklemi bulduğumuza göre ve n sayısı 1'den sonsuza gittiğine göre sonucu bulmak için Sonsuz İşlemleri'nde kullanılan limit işleminden yararlanabiliriz.
1/2n işleminin limiti sıfır olduğundan sonuç 1 çıkar. Böylece matematiksel olarak alınan yolun 1 olduğunu yani hedefe ulaşabildiğimizi kanıtlayabiliriz. Böylece dikotomi paradoksu bir çözüme ulaşmış olur. Bu sonuç ile Zeno'nun düşünme mantığının da doğru olduğu görülür. Sadece o yıllarda bilinen matematik bilgileri sonucun farklı yorumlanmasına neden olmuştur.
Farzedin ki belli uzaklıktaki bir yere gideceğiz. Hedefe varmak için önce yolun yarısına ulaşmış olmamız gerekir.
Yarı yola ulaştıktan sonra hedefe varmak için kalan yolun yarısına, daha sonra kalan yolun yarısına, sonra kalan yolun yarısına... ulaşmış olmamız gerekir. Bu süreç sonsuza kadar gitmekte ve bu mantıkla asla hedefe ulaşılamamaktadır. Zeno "O halde hareket imkansızdır, olsa olsa bir illüzyondur" sonucuna ulaşmıştır. İşte bu paradoksa dikotomi paradoksu adı verilir.
Dahası toplam zamanı bulmak için her aşamada geçen zamanları toplamamız gerekir. Fakat aşama sayısı sonsuz olduğundan toplam süre de sonsuz olmalıdır.
Zeno'nun doğru gözüken mantığına göre hedefe hiç bir zaman ulaşamayız. Fakat belli uzaklıktaki bir hedefe gitmek istediğimizde gidebiliyoruz. Böylece paradoks ortaya çıkmış oluyor. Zeno bu paradoksu çözmek için hareketin bir illüzyon olduğu sonucuna ulaşmıştır ki bunun doğru olmadığını biliyoruz. O halde Zeno'nun paradoksunda göz ardı edilen neydi?
O yıllarda sonsuz sayıda elemanın toplamı yine sonsuz olarak değerlendiriliyordu. Fakat matematikçiler sonraki yüzyıllarda sonsuz sayıda elemanın toplamının bir sayı olabileceğini buldu. Zeno paradoksu da böylece bir çözüme ulaştı. Çözümü daha iyi anlamak için bazı sayısal değerler verelim. Diyelim ki 1 kilometre uzaklıktaki bir yere gitmek istiyoruz. Hızımız da saatte 1 kilometre olsun. Bu verilere göre yolculuk 1 saat sürecektir. Zeno'nun bakış açısı ile işlemlerimizi yapalım. Önce yolun yarısı yani 1/2'sini, sonra kalanın yarısını yani yolun 1/4'ünü, sonra 1/8'ini... gitmemiz gerekiyor. Her aşamada toplam alınan yolu hesaplarsak bir bağıntı elde edebilir ve matematiksel işlemler yapabiliriz.
Toplam Alınan Yol (Kilometre)
1. Aşama Sonunda : 1/2
2. Aşama Sonunda : 1/2 + 1/4 = 3/4
3. Aşama Sonunda : 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
4. Aşama Sonunda : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
.
.
.
Bağıntı = (2n-1)/2n
Denklemi bulduğumuza göre ve n sayısı 1'den sonsuza gittiğine göre sonucu bulmak için Sonsuz İşlemleri'nde kullanılan limit işleminden yararlanabiliriz.
1/2n işleminin limiti sıfır olduğundan sonuç 1 çıkar. Böylece matematiksel olarak alınan yolun 1 olduğunu yani hedefe ulaşabildiğimizi kanıtlayabiliriz. Böylece dikotomi paradoksu bir çözüme ulaşmış olur. Bu sonuç ile Zeno'nun düşünme mantığının da doğru olduğu görülür. Sadece o yıllarda bilinen matematik bilgileri sonucun farklı yorumlanmasına neden olmuştur.
